曲率计算

1. 曲率基本概念

曲率是几何体不平坦程度的一种衡量。

曲线曲率

曲线曲率可以描述曲线的弯曲程度，在曲线方程知道的情况，且二阶导存在的情况下（直角坐标系），其值为

\[K=\frac{\left | y^{''} \right | }{(1 + {y^{'}}^{2})^{\frac{3}{2} }}

\]

曲率与曲率半径成倒数关系，如下图P点的曲率半径为

\[r = \frac{1}{K}

\]

曲面曲率

主要涉及主曲率，高斯曲率，平均曲率的一些概念，可以参考对应的链接。

2. 三角网格顶点的曲率

在三角网格模型中，估计顶点曲率经常被用到，可以先估计出该顶点附件的曲面方程，然后再求曲率；也可以直接按照顶点周围的邻接关系进行估算。这里记录一下一些估算曲率的方法。

涉及概念

Vonoroi region

discrete Laplace-Beltrami

离散方法

三角网格上高斯曲率和平均曲率的计算

三角网格上高斯曲率和平均曲率的计算

相关讨论

CurvaNet

TriMesh_curvature 对应论文《Estimating Curvatures and Their Derivatives on Triangle Meshes》

连续方法

ESTIMATING CURVATURE ON TRIANGULAR MESHES

3. 有序离散点曲率近似

根据当前点，找出一点前后距离的点，然后估算出曲率

点击展开部分代码

double GetEdgeLength(size_t indx, size_t nextIndex, const std::vector& ori, std::vector& edgeLengthArray)

{

if (edgeLengthArray[indx] < 0.0)

{

edgeLengthArray[indx] = (ori[indx] - ori[nextIndex]).Magnitude();

}

return edgeLengthArray[indx];

}

double ComputeNormalizedCurvature(const std::vector& ori, size_t indx, std::vector& edgeLengthArray, double neighborSize = 1.8)

{

const core::Vector3& thisPt = ori[indx];

double currentDis = 0.0;

size_t currentIndex = indx;

while (currentDis < neighborSize)

{

size_t nextIndex = currentIndex - 1;

if (currentIndex <= 0) {

return 0.0; // the last

}

currentDis += GetEdgeLength(nextIndex, currentIndex, ori, edgeLengthArray);

currentIndex = nextIndex;

}

const core::Vector3& lastPt = ori[currentIndex];

currentIndex = indx;

currentDis = 0.0;

while (currentDis < neighborSize)

{

size_t nextIndex = currentIndex + 1;

if (nextIndex >= ori.size())

return 0.0; // the last

currentDis += GetEdgeLength(currentIndex, nextIndex, ori, edgeLengthArray);

currentIndex = nextIndex;

}

const core::Vector3& nextPt = ori[currentIndex];

core::Vector3 lineDir = lastPt - nextPt;

double l = lineDir.Magnitude();

lineDir *= 1.0 / l;

double d = core::Distance::PointLine(thisPt, lastPt, lineDir);

return d / l;

}

inline bool IsPeak(double lastValue, double thisValue, double nextValue)

{

return lastValue < thisValue&& nextValue < thisValue;

}

std::vector curvatureArray(ori.size());

std::vector edgeLengthArray(ori.size(), -1.0);

for (size_t i = 0; i <= num; ++i)

{

curvatureArray[i] = ComputeNormalizedCurvature(ori, i, edgeLengthArray, neighborSize);

}

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